Ракурс
English info@racurs.ru

Статьи и презентации

Библиография PHOTOMOD

Опыт пользователей

Учебные материалы

Материалы конкурса PHOTOMOD Lite

Вики — фотограмметрия

 НОВОСТИ  О КОМПАНИИ  ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ  ДАННЫЕ ДЗЗ  УСЛУГИ  ОБУЧЕНИЕ  ПОДДЕРЖКА  БИБЛИОТЕКА  КОНТАКТЫ  ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 
 Статьи и презентации  Вики — Фотограмметрия 

Характеристики точности CE и LE

П.С.Титаров ("Ракурс")

Скачать эту статью (PDF, 95kB)

1. Введение

В некоторых странах принято точность планового положения точек местности задавать показателем, обозначаемым CE, а точность высот - величиной, обозначаемой LE. Иногда приходится сталкиваться с неверной трактовкой численных значений этих характеристик, когда эти значения приписывают среднеквадратическим ошибкам (СКО), которые также широко используются в качестве показателя точности координат точек. В данной статье описаны характеристики CE и LE и приведены (с выводом) формулы, связывающие их с СКО координат.

2. CE - показатель точности планового положения точек местности

CE (Circular Error) - это величина, которую с заданной вероятностью (обычно 90% либо 95%; соответствующие показатели обозначаются CE90 и CE95) не превзойдет отклонение характеризуемой оценки планового положения точки от её истинного планового положения. Иначе говоря, с заданной вероятностью точка окажется в круге радиусом CE, центр которого совпадает с истинным положением точки.

Получим соотношение, связывающее показатель CE c СКО плановых координат X, Y. Будем полагать, что источники систематических ошибок устранены, а случайные ошибки ΔX, ΔY плановых координат независимы, нормально распределены и дисперсии их одинаковы и равны σ2; таким образом, математические ожидания mΔX = mΔY = 0, дисперсии σ2ΔX = σ2ΔY = σ2, среднеквадратические отклонения σΔX = σΔY = σ. В этом случае плотность распределения случайных ошибок плановых координат имеет вид:

Найдем вероятность того, что плановое отклонение не превзойдет заданной величины R:

В последней формуле область интегрирования CR представляет собой круг радиуса R с центром в начале отсчета. Перейдем к полярным координатам r и θ: ΔX = r*cosθ, ΔY = r*sinθ. Якобиан перехода к полярным координатам равен r (см., например, [2]). Выражение для искомой вероятности в полярных координатах принимает вид:

Преобразуем полученную формулу:

Подставляя значение P(r≤R)=0.9, получаем , откуда

Рассмотрим в качестве примера утверждение компании DigitalGlobe, поставляющей снимки, полученные ИСЗ QuickBird [7], что при использовании высокоточных модели рельефа и опорных точек для ортотрансформирования изображения уровня Basic, достижимая точность выходного ортоизображения составляет 2 м (при разрешении надирного снимка 61 см). Следует иметь в виду, что под точностью в данном случае подразумевается именно величина CE90; СКО планового положения составит примерно 0.9 м.

Широкое использование CE90 в американской геодезической литературе (в том числе и в описаниях продуктов дистанционного зондирования, получаемых с ИСЗ IKONOS [5], QuickBird [7],[8] и OrbView-3 [6]) обусловлено тем, что в США более полувека применялся стандарт NMAS (US National Map Accuracy Standards) [9], требования которого к плановой точности крупномасштабных карт (":not more than 10 percent of the points tested shall be in error by more than:") могут быть сформулированы с помощью CE90 в том случае, когда дисперсии погрешностей по обеим осям одинаковы (или близки). Если же это не так, и дисперсия погрешностей по разным направлениям существенно различается, вместо "круговой ошибки" необходимо использовать "эллиптическую". Детально этот вопрос рассмотрен в работе [4]. Заметим также, что выражение для "круговой ошибки" в [4] получено как частный случай "эллиптической" (отказ от рассмотрения случая, когда дисперсии погрешностей в различных направлениях неодинаковы, делает вышеприведенный вывод значительно проще).

В настоящее время показатель CE90 постепенно вытесняется величиной CE95; аналогично тому, как это было проделано выше для CE90, легко получить:

В частности, CE95 используется в современном стандарте США, посвященном точности пространственных данных [3].

3. LE - показатель точности высот точек местности

LE (Linear Error) - это величина, которую с заданной вероятностью (обычно 90% либо 95%; соответствующие показатели обозначаются LE90 и LE95) не превзойдет отклонение характеризуемой оценки высоты точки от истинного значения её высоты.

Конечно, говоря о LE как об оценке точности высот, имеют в виду её основное применение в геодезии и смежных науках; в общем случае этот показатель может использоваться для любых одномерных случайных величин, так же как показатель CE - для любых двумерных.

Получим соотношение, связывающее показатель точности LE и СКО высоты Z. Будем полагать, что источники систематических ошибок устранены, а случайные ошибки высот распределены нормально; таким образом, математическое ожидание высотной ошибки равно нулю, а величину дисперсии обозначим σ2ΔZ.

В общем случае функция распределения F(x) случайной величины X, нормально распределенной с математическим ожиданием m и дисперсией σ2, может быть выражена через нормальную функцию распределения Φ*(t) [1] следующим образом: F(x)=Φ*((x-m)/σ), где

Тогда

В нашем случае вероятность того, что величина высотной ошибки ΔZ не превзойдет по абсолютной величине заданного значения γ, равна

Принимая во внимание, что Φ*(-t)= 1-Φ*(t), полученное выражение можно привести к виду:

Преобразуем эту формулу:

Используя полученное выражение, определим соотношение между показателем точности LE90 и СКО σΔZ:

Функция Φ*(t) табулирована во многих учебниках по теории вероятностей и справочниках. Интерполируя значения из таблиц, приведенных в приложении 1 учебника [1], получим: Φ* -1(0.95)=1.645; следовательно,

Показатель LE90 своей распространенностью также обязан стандарту NMAS [9]; современный американский стандарт [3] использует показатель LE95, для которого аналогично LE90 получаем:

Выбрав из приложения 1 учебника [1] значение Φ* -1(0.975)=1.96, имеем:

Таким же образом можно получить соотношение между СКО и LE для любого заданного значения вероятности.

4. Литература

1.Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. - 6-е изд. Стер. - М.: Высш. шк., 1999. - 576 с.: ил.

2.Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособ. для вузов. - М.: Изд-во МФТИ, 1997. - 720 с.

3.Geospatial Positioning Accuracy Standards (FGDC-STD-007.3-1998). Part 3: National Standard for Spatial Data Accuracy. - Subcommittee for Base Cartographic Data, United States Federal Geographic Data Committee, Washington, D.C.

4.Error Theory as Applied to Mapping, Charting and Geodesy. - United States Defense Mapping Agency Technical Report 8400.1. - 2 May 1991.

5.IKONOS Imagery Products and Product Guide. Space Imaging LLC, 2002.

6.OrbView-3 Commercial Satellite Imagery Product Catalog. Rev. 5/17/04. ORBIMAGE Inc., 2004.

7.QuickBird Imagery Products. Frequently Asked Questions. Release Date: 14 March 2003. Digital Globe, Inc.

8.QuickBird Imagery Products. Product Guide. Revision: 3.5. Release Date: 14 March 2003. Digital Globe, Inc.

9.United States National Map Accuracy Standards: U.S. Bureau of the Budget, 1947, Washington, D.C.

Подписка на новости 129366, г. Москва
ул. Ярославская, д. 13А, офис 15
Tel   (495) 720-51-27 (многоканальный)
Fax   (495) 120-40-17
Последнее обновление: 22.03.2019© Ракурс, 2004-2019